الاحتمال عمليًا

طريقان إلى نفس الفكرة

قبل أن تبدأ

الفكرة الجوهرية

نأخذ من الاحتمال ما يظهر في عملك فقط: التوزيع، ثم الانحراف المعياري، ثم الاحتمال الشرطي، ثم القاعدة الأساس التي تخدع من يقرأ الدقة.

1التوزيع: شكل البيانات

التوزيع يصف احتمال كل قيمة أو مدى من القيم. هو شكل البيانات لا قيمتها الوسطى.

انظر إلى الرسم: توزيع طبيعي متوسطه 50 وانحرافه 10. أغلب القيم قرب الوسط، وتقلّ كلما ابتعدت.

أغلب ما يسمّيه الناس «شاذًّا» هو توزيع لم ينظروا إليه. التوزيع هو ما يحدّد معنى الشاذ في بياناتك، لا عينك.

2المتوسط والانحراف

المتوسط موقع والانحراف اتّساع، ومن دون الثاني يصير الأول رقمًا بلا معنى. الانحراف المعياري هو متوسط بُعد القيم عن متوسطها.

انظر إلى الرسم: كم من ألف قيمة يقع داخل انحراف واحد وداخل انحرافين.

import numpy as np

rng = np.random.default_rng(7)
sample = rng.normal(loc=50.0, scale=10.0, size=1000)

print(f"mean={float(sample.mean()):.2f}")
print(f"std={float(sample.std(ddof=1)):.2f}")
within_one = float(((sample > 40) & (sample < 60)).mean())
within_two = float(((sample > 30) & (sample < 70)).mean())
print(f"within 1 sd: {within_one:.3f}")
print(f"within 2 sd: {within_two:.3f}")

ألف قيمة من توزيع طبيعي متوسطه 50 وانحرافه 10: المتوسط المحسوب 49.28 لا 50 بالضبط، وهذا هو خطأ العيّنة لا علّة في الكود. وقعت 0.708 من القيم داخل انحراف واحد و0.965 داخل انحرافين، وهي القاعدة التي ستستخدمها لتقدير ما إذا كانت قيمة غريبة فعلًا.

3الاحتمال الشرطي

الاحتمال الشرطي هو احتمال شيء بعد أن علمت شيئًا آخر. كل تصنيف هو احتمال من هذا النوع: ما احتمال الفئة بعد رؤية هذه السمات؟

انظر إلى الرسم: عشرة آلاف شخص يُقسَمون مرتين، مرة بالمرض ومرة بنتيجة الاختبار.

إن جاءتك نتيجة موجبة، فأنت في أحد الفرعين الموجبين: 99 مريضًا أو 495 سليمًا. والسؤال الآن: أي فرع أكبر؟

4القاعدة الأساس

شيوع الحالة قبل أي اختبار يحكم تفسير نتيجته. احسب الآن الفرعين الموجبين، ثم غيّر الشيوع وحده وراقب الجواب.

prevalence = 0.01
sensitivity = 0.99
specificity = 0.95

true_positive = prevalence * sensitivity
false_positive = (1 - prevalence) * (1 - specificity)
positive = true_positive + false_positive

print(f"true positives:  {true_positive * 10000:.0f} per 10000")
print(f"false positives: {false_positive * 10000:.0f} per 10000")
print(f"P(sick | positive) = {true_positive / positive:.3f}")

for p in [0.001, 0.01, 0.1, 0.5]:
    tp = p * sensitivity
    fp = (1 - p) * (1 - specificity)
    print(f"prevalence={p:<6} -> {tp / (tp + fp):.3f}")

اختبار حسّاسيته 99% ونوعيته 95% على مرض يصيب واحدًا من مئة: لكل عشرة آلاف شخص هناك 99 موجبًا صحيحًا و495 موجبًا كاذبًا، فاحتمال أن تكون مريضًا فعلًا بعد نتيجة موجبة هو 0.167 فقط. ولاحظ الجدول الأخير: نفس الاختبار بالضبط يعطي 0.952 لو كان المرض يصيب نصف الناس. الاختبار لم يتغيّر، تغيّر الشيوع.

كيف يعمل، خطوة بخطوة: كيف تحسب احتمال المرض بعد نتيجة موجبة

مثال محلول

جرّب بلا كود

خرافة مقابل حقيقة

جرّب بنفسك

بطاقات مراجعة سريعة

تحقق من فهمك